מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה

Transcript

1 מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה 12 בפברואר 2017

2 מבוא לתורת החבורות מהדורה הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס "אלגברה מופשטת 1" לתלמידי מתמטיקה, , באוניברסיטת בר אילן. הקורס (בהיקף של שלוש שעות הרצאה ושעתיים תרגיל, לאורך סמסטר אחד) הוא קורס ראשון באלגברה מודרנית (אחרי קורס שנתי באלגברה לינארית), והוא מכסה את היסודות של תורת החבורות. החומר מחולק לסעיפים ותת סעיפים, המסודרים כך שמושגים חיוניים יופיעו מוקדם ככל האפשר, תוך שילוב של כמה דוגמאות נחוצות. בכל נושא מובאות ההגדרות והתוצאות העיקריות, כשהן פרושות לתרגילים קצרים ונוחים לעיכול. כל טענות העזר והשיטות הסטנדרטיות נוסחו כתרגילים. המהדורה הארוכה, המונחת לפניכם, כוללת הדרכה מפורטת ולפעמים פתרון מלא לתרגילים רבים, בעיקר אלו שיש להם אופי תאורטי יותר. סדר התרגילים בתוך כל סעיף נבחר בזהירות, כשכל תרגיל מופיע מיד כאשר הונחה התשתית לרעיונות הדרושים כדי לפתור אותו (אך בכפוף לאילוץ המקובל, והמתסכל במידת מה, הקובע שסדר המשפטים בעמוד מוכרח להיות קווי). תרגילים השייכים לאותה מדרגה לוגית מופיעים בסדר יורד של מידת הכלליות והעניין. החידוש, במידה שיש כאן כזה, הוא בהצמדת דרגת קושי לכל תרגיל: תרגילים קלים, מדרגה (*), דורשים בדרך כלל שליטה בהגדרות ותו לא; את רובם של אלה אפשר ורצוי לפתור בעל פה, תוך ציון ההגדרה או העובדה הרלוונטית. תרגילים טכניים מורכבים, לא רגילים או סתם קשים סומנו ב (***). שאר התרגילים קיבלו את הציון (**). סימנים נוספים, כמו ב (**+) או (**-), מציינים שהתרגיל עשוי להיות קשה או קל יותר מכפי שנראה במבט ראשון. אם טרחתם לכתוב פתרון לתרגיל שרמתו (***+), ספרו לי. כל התרגילים מנוסחים בלשון זכר, ועם הלומדות הסליחה. במספר מקומות הרחבנו מעבר לרמה הנדרשת בקורס. המבואות בראשי הפרקים אמורים לתת סקירה ממצה של תוכן הפרק; מי שאינו מתכוון לצלוח יותר ממאה וחמישים עמודים של תרגילים עשוי להסתפק בקריאת ראשי הפרקים האלו. אודה לכל מי שיביא לתשומת ליבי שגיאות מתמטיות, השמטות, כפילויות או שגיאות כתיב, כדי שאוכל לתקנן במהדורה הבאה. עוזי וישנה,

3 תוכן עניינים 1 חבורות למחצה, מונוידים וחבורות חבורות למחצה איברי יחידה אידמפוטנטים ואברים מיוחדים אחרים מונוידים אברים הפיכים מימין ומשמאל חבורות תת מבנים תת חבורה למחצה תת מונויד תת חבורה מכפלה ישרה חיצונית הומומורפיזמים דוגמאות לחבורות חבורות אבליות מבוא לתורת המספרים יחס החילוק המחלק המשותף המקסימלי שקילות מודולו n פירוק לראשוניים משפט ההיפוך של מביוס חבורות ציקליות סדר של אברים חבורות אוילר פונקציית אוילר החבורה החיבורית והכפלית של שדה החבורות הסימטריות חבורות של מטריצות החבורות הדיהדרליות חבורות מנה קוסטים של תת חבורה משפט לגרנז' תת חבורות נורמליות חבורת מנה משפט האיזומורפיזם הראשון סדרות ודיאגרמות

4 תוכן עניינים תוכן עניינים עוד על שדות ומטריצות ייצוג בעזרת יוצרים ויחסים חבורת הקווטרניונים סריג תת החבורות 4 49 חיתוך של תת חבורות כפל תת חבורות מכפלה ישרה פנימית מכפלה ישרה של כמה תת חבורות סריג תת החבורות סריגים הסריג של תת החבורות מודולריות אינדקס של תת חבורות משפט ההתאמה המר כז תת חבורת הקומוטטורים משפחות של חבורות חבורות של תמורות הסימן של תמורה הסימן והדיסקרימיננטה חבורת התמורות הזוגיות אברים צמודים ב. S n מחלקות צמידות ב. A n קבוצות יוצרים A n 5.4 חבורה פשוטה תמורות מקריות פעולה של חבורה על קבוצה הפעולה דוגמאות ופעולות מושרות פעולה נאמנה מסלולים ומייצבים פעולת הכפל של חבורה על עצמה משפט קיילי העידון של משפט קיילי פעולת ההצמדה מחלקות צמידות מרכ זים מחלקות צמידות בתת חבורה מרכ זים של תת חבורות מנרמלים הלמה של ברנסייד טרנזיטיביות טרנזיטיביות מרובה פעולה פרימיטיבית תת חבורות של S n

5 תוכן עניינים תוכן עניינים פעולה רגולרית החבורות הלינאריות איזומורפיזמים יוצאי דופן אוטומורפיזמים חבורת האוטומורפיזמים אוטומורפיזמים פנימיים האוטומורפיזמים של. S n אוטומורפיזמים יחסיים תת חבורות אופייניות מכפלה ישרה למחצה מכפלה ישרה למחצה פנימית מכפלה ישרה למחצה חיצונית חבורות שלמות מכפלת זר מבוא לקוהומולוגיה משלימים והקוהומולוגיה הראשונה הרחבות והקוהומולוגיה השניה הרחבות בחבורה K שאינה אבלית סימטריות של גרפים משפטי סילו שוויון המחלקות משפט קושי חבורות p משפט מילר מספר תת החבורות משפטי סילו קיומן של חבורות p סילו תת חבורות סילו צמודות זו לזו תת חבורות הול הטרנספר מכפלה של תת חבורות שימושים במשפטי סילו נומרולוגיה ספירת אברים פעולה על תת חבורות החבורות הקטנות חבורות אבליות האקספוננט הפירוק הפרימרי חבורות p אבליות משפט המיון לחבורות אבליות סופיות חבורות אוילר חבורות אבליות אינסופיות חבורות סדורות חבורות שאינן נוצרות סופית

6 תוכן עניינים תוכן עניינים חבורות פתירות ונילפוטנטיות 161 סדרות תת נורמליות וסדרות הרכב חבורות פתירות הסדרה הנגזרת תת חבורת פרטיני חבורות סופר פתירות תנאי סופיות סדרות מרכזיות הסדרה המרכזית היורדת הסדרה המרכזית העולה חבורות נילפוטנטיות

7 פרק 1 חבורות למחצה, מונוידים וחבורות הקורס עוסק בחבורות, שהן מערכות אלגבריות בעלות פעולה אחת, המקיימת כמה אקסיומות. בפרק הראשון נכיר את המערכות שהן פרימיטיביות עוד יותר מחבורות - אלו שהפעולה שלהן מקיימת רק חלק מן האקסיומות שמקיימות חבורות. תכונת האסוציאטיביות של הרכבת פונקציות מובילה אותנו לאמץ את האסוציאטיביות כאקסיומה בכל המערכות שנלמד בקורס הזה. הגישה כאן היא אקסיומטית: לומדים את התכונות האבסטרקטיות הנובעות מהנחות יסוד, שאת העניין בהן מצדיקות דוגמאות חשובות. המושגים העיקריים בפרק זה: פעולה בינארית המקיימת את האקסיומה a(bc) = (ab)c היא פעולה אסוציאטיבית. קבוצה שמוגדרת עליה פעולה אסוציאטיבית נקראת חבורה למחצה. בחבורה למחצה עשויים להיות אברים מיוחדים: יחידות מימין, יחידות משמאל ויחידות דו צדדיות; אברי אפס מימין, אפס משמאל, אברי אפס דו צדדיים. אם יש לחבורה למחצה איבר יחידה (דו צדדי), היא נעשית מונויד. איבר של מונויד עשוי להיות הפיך מימין, הפיך משמאל, או הפיך משני הצדדים (ואז הוא הפיך). מונויד שבו כל האברים הפיכים נעשה חבורה, וזה האובייקט המרכזי של הקורס. המשפט המרכזי בחלק זה (משפט ) קובע שמונויד סופי המקיים את תכונת הצמצום הוא בהכרח חבורה. הפרק מציג את המכפלה הישרה, שהיא דרך קלה לשילוב מבנים אלגבריים; ואת המושגים הכלליים תת חבורה והומומורפיזם, שמשחקים תפקיד מרכזי בכל תאוריה אלגברית. 1.1 חבורות למחצה נפתח בהצגת חבורות למחצה, שהן מבנים עם פעולה אסוציאטיבית אחת. תכונות של אברים מיוחדים בחבורה למחצה מובילות בהדרגה להגדרת החבורה. פעולה בינרית על קבוצה A היא פונקציה : A A A. כל פעולה ''מוגדרת היטב'', כלומר, לכל שני אברים,x y A יש ערך יחיד x, y השייך ל A ; אחרת זו אינה פעולה. פעולה היא אסוציאטיבית אם לכל a, b, c A מתקיים.a (b c) = (a b) c הגדרה חבורה למחצה היא מערכת הכוללת קבוצה S עם פעולה אסוציאטיבית. אומרים ש S חבורה למחצה (ביחס לפעולה הנתונה), או, כדי להדגיש את תפקידה של הפעולה, שהזוג הסדור (,S) הוא חבורה למחצה. בדרך כלל קוראים לפעולה בחבורה ''כפל'', גם אם יש לה בהקשר המקורי שם אחר (כמו ''חיבור'' או ''הרכבה''). במקרים רבים מקובל להשמיט את סימן הכפל, ולכתוב ab במקום.a b תרגיל (*) תהי X קבוצה. הראה שהאוסף S = X X של פונקציות,X X עם פעולת ההרכבה, הוא חבורה למחצה. תרגיל (**+) בחבורה למחצה נגדיר באינדוקציה, לכל איבר x, את החזקות x, 1 = x n 1.x n = x x הוכח ש.x n+m = x n x m הדרכה. אינדוקציה כפולה. היכן משתמשים באסוציאטיביות? 7

8 1.1. חבורות למחצה פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות תרגיל (*) תהי S קבוצה. נגדיר.a b = b הוכח ש ( (S, חבורה למחצה. תרגיל (**) בדוק אילו מהמערכות הבאות הן חבורות למחצה. 1. קבוצת המספרים הזוגיים עם פעולת הכפל. 2. קבוצת המטריצות ההפיכות בגודל 3 3 מעל R, ביחס לחיבור..3 קבוצת המספרים הממשיים, עם הפעולה ) 2.a b = 1 2 (a2 + b תרגיל (**) נניח שבחבורה למחצה A אפשר לשחזר את הגורמים,a b מתוך המכפלה.(aa)b = a(ab),a, b A הדרכה. לכל. A = הוכח ש 1.b = ו d a = c נובע ab = כלומר, מ cd,ab הגדרה איזומורפיזם של חבורות למחצה (,X) ו (,Y) הוא פונקציה חד חד ערכית ועל f : X Y המקיימת את התנאי ) f(x f(x x ) = f(x) (לכל.(x, x X אם קיים איזומורפיזם בין שתי חבורות למחצה, אומרים שהן איזומורפיות ומסמנים X. = Y תרגיל (*) אם X X f : איזומורפיזם, אז f 1 : X X גם הוא איזומורפיזם. תרגיל (**) איזומורפיות היא תכונה רפלקסיבית, סימטרית וטרנזיטיבית. אינ נו אומרים שאיזומורפיות היא יחס שקילות, משום שמחלקת החבורות למחצה גדולה מכדי להיות קבוצה, ואי אפשר להגדיר עליה יחסים. תרגיל (**) יש בדיוק 5 חבורות למחצה בנות 2 אברים עד כדי איזומורפיזם. כלומר, יש 5 חבורות למחצה עם שני אברים, שאינן איזומורפיות זו לזו, וכך שכל חבורה למחצה בת שני אברים איזומורפית לאחת מהן. הדרכה. מיינו את האפשרויות לפי מספר הפתרונות למשוואה x. x = x הערה מספר החבורות למחצה בגודל n גדל במהירות כפונקציה של n: יש 188, 24, 5, , , 28634, 1915, חבורות למחצה לא איזומורפיות מסדר, , 3, [סדרה A באנציקלופדיה לסדרות של מספרים טבעיים של [.N. J. A. Sloane (השווה להערה ) תרגיל (***-) (בעיה 1-A מתחרות Putnam ה 62, 2001) פעולה בינארית (לאו דווקא אסוציאטיבית) : S S S מקיימת את החוק ;a (b a) = b הוכח שהיא מקיימת גם.(a b) a = b איברי יחידה יש הרבה חבורות למחצה. כדי לבנות מסגרת שתאפשר לנתח את המבנה שלהן, עלינו לזהות איברים בעלי תכונות מיוחדות. הגדרה תהי ) (S, חבורה למחצה. איבר e S נקרא יחידה מימין אם לכל b S מתקיים,be = b ויחידה משמאל אם לכל b S מתקיים.eb = b יחידה מימין היא איבר הפועל כיחידה כאשר כופלים בו מימין, וכן משמאל. איבר שהוא יחידה מימין ומשמאל נקרא איבר יחידה. תרגיל (*) אם בחבורה למחצה יש יחידה מימין e ויחידה משמאל e, אז e e = (וזהו כמובן איבר יחידה). תרגיל (*) בחבורה למחצה S יש שבע יחידות משמאל. כמה יחידות מימין יש בה? 8

9 חבורות למחצה, מונוידים וחבורות 1.1. חבורות למחצה פרק 1. תרגיל (**) קבע, לגבי כל אחת מהחבורות למחצה של תרגיל , מיהם אברי היחידה מימין ומשמאל. {( ) } a b 0 0 : a, b R תרגיל (**) מטריצות). 2. ב M אין יחידה מימין, אבל יש אינסוף יחידות משמאל. = M היא חבורה למחצה (ביחס לכפל 3. מצא דוגמה לחבורה למחצה בלי יחידות משמאל ועם אינסוף יחידות מימין אידמפוטנטים ואברים מיוחדים אחרים הגדרה איבר e בחבורה למחצה נקרא אידמפוטנט אם e 2 = e (כזכור.(e 2 = e e תרגיל (*) כל איבר יחידה, מימין או משמאל, הוא אידמפוטנט. הגדרה איברים,a b S נקראים הפוכים (באופן חלש) זה לזה, אם aba = a ו b.bab = תרגיל (**) נניח ש b,a הפוכים זה לזה. הוכח ש ab ו ba אידמפוטנטים. תרגיל (**) אם b ו b שניהם הפוכים ל a, אז ab ו ab הפוכים זה לזה (וכך גם.(ba, b a תרגיל (**) אם b ו b שניהם הפוכים ל a, אז כך גם bab ו ab b. תרגיל (**) נתון ש b הפוך ל a, a הפוך ל b, ו b הפוך ל a. הוכח ש bab הפוך ל.aba תרגיל (**) e,e הם שני אידמפוטנטים הפוכים זה לזה. כתוב את לוח הכפל של הקבוצה.{e, e, ee, e e} תרגיל (**) חבורה למחצה היא מגבילה (restrictive) אם כל איבריה אידמפוטנטים, והיא מקיימת את החוק.xyz = yxz (חבורות למחצה אלו הוגדרו על ידי.V,.V Wagner 1962, שהראה שהן מתקבלות ממערכות של העתקות עם פעולת צמצום הדדית שלא נתאר כאן במלואה.) מיין את כל החבורות למחצה המגבילות עם שלושה אברים. תרגיל (**) חבורה למחצה היא רצועה רגולרית שמאלית אם היא מקיימת את החוקים x 2 = x ו xy xyx = לכל,x. y על אוסף המלים בקבוצת האותיות S, שבהן כל אות מופיעה לכל היותר פעם אחת, נגדיר פעולה באופן הבא: u v היא המלה המתקבלת מקריאת המלה uv משמאל לימין, ומחיקת כל אות שכבר הופיעה. הראה שמתקבלת רצועה שמאלית רגולרית. כתוב את לוח הכפל במקרה = 2 S. הגדרה איבר z S המקיים za = z לכל a S נקרא אפס משמאל. אם az = z לכל a S אז z נקרא אפס מימין. אפס מימין ומשמאל נקרא אפס של החבורה למחצה S. תרגיל (*) אם בחבורה למחצה יש אפס מימין ואפס משמאל, אז הם שווים. מכאן שאם יש איבר אפס, אז הוא יחיד. (השווה לתרגיל ) תרגיל (**) תן דוגמה לחבורה למחצה שיש בה איבר אפס, ולחבורה למחצה בלי איבר כזה. תרגיל (**) איזומורפיזם של חבורות למחצה מעביר יחידה משמאל ליחידה משמאל, יחידה ליחידה, אידמפוטנט לאידמפוטנט ואפסים לאפסים. 9

10 1.1. חבורות למחצה פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות x y = x+y (זוהי הנוסחה היחסותית לחיבור מהירויות, ביחידות של 1+xy תרגיל (**+) נסמן מהירות האור). הראה שהקטע [1,0] הוא מונויד ביחס לפעולה, ובו 0 הוא איבר יחידה, ו 1 הוא איבר אפס. תן נוסחה מפורשת למכפלה (n x x פעמים). הראה ש (,[1,0]) איזומורפי ל (+ ],.([0, הדרכה. קח 1] ] [0, [0, : f לפי.f(t) = et e t e t +e t x = x = 1 x+y. הראה ש ( { }, (R הוא ו x,x y = 1 xy תרגיל (**+) נסמן מונויד, כש 0 הוא איבר היחידה..x y = xy+λ x+y+2 תרגיל (***) יהי < λ 1 מספר ממשי. נגדיר 1. הוכח שהקטע (,1 ) = I הוא חבורה למחצה ביחס לפעולה. 2. נניח ש λ e 2 + 2e = עבור e I (בדוק ש e יחיד). הוכח ש e איבר אפס של הפעולה. 3. נרחיב את לקטע המוכלל [,1 ] על ידי מעבר לגבול: a ( 1) = ( 1) a = lim x a, x ( 1) + a = a = lim x x a; וכן הלאה עבור (1 ) (1 ), (1 ) = (1 ) ו. בדוק ש = (1 ) (1 ), וש הוא איבר יחידה בקטע החדש..4 נסמן.a = ( 1) a בדוק ש a a = וש b.a b = a 5. הראה ש e תמיד בין a ל a..6 הוכח שלמשוואה a x = b קיים פתרון אם ורק אם b בין a ל.a.7 הוכח שלכל.lim n a n = e,a I רמז. פרק לגורמים את.a b e (ראה גם תרגיל ) תרגיל (**+) במשחק קומבינטורי לשני משתתפים עם מידע מלא, כל שחקן מבצע מהלך בתורו, עד שאחד השחקנים נותר ללא מהלך חוקי והוא מוכרז כמפסיד. המשחק סופי אם כל סדרת מהלכים מוכרחה להסתיים בהפסד של אחד השחקנים. נניח שהמשחק סופי. מצב מפסיד הוא מצב שבו השחקן אינו יכול לנוע, או שכל מהלך מוביל למצב זוכה; ומצב זוכה הוא מצב שבו קיים מהלך המוביל למצב מפסיד. 1. הוכח שהמושגים 'מפסיד' ו'זוכה' מוגדרים היטב, באינדוקציה (למרות שההגדרה נדמית מעגלית), ושכל משחק סופי הוא או מפסיד או זוכה. 2. הסכום α + β של שני משחקים,α β הוא המשחק שמהלך חוקי שלו מחזיר את β α + כאשר β מתקבל ממהלך חוקי ב β, או את α + β כאשר α מתקבל במהלך חוקי מ α. הראה שאם,α β שניהם זוכים או שניהם מפסידים, אז α+β זוכה; ואם α זוכה ו β מפסיד או להיפך, אז α + β מפסיד. 3. נסמן ב { L s(α),w} את סוג המשחק α, זוכה (W) או מפסיד (L). הצע פעולה + על הקבוצה } W {L, כך ש ( s(β.s(α + β) = s(α) + 4. פקודות מטכ"ל אוסרות על חיילים לנוע בגפם. לקצינים מותר לפצל קבוצת חיילים רק בתנאי ששני החלקים מצייתים לפקודה. שני קצינים משחקים בפיצול חוזר של פלוגת חיילים: הראשון שאינו יכול לפצל, מפסיד. הראה שאם בפלוגה יותר משבעה חיילים, הקצין הראשון יכול לנצח. 10

11 1.2. מונוידים פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות 1.2 מונוידים הגדרה חבורה למחצה M שיש בה איבר יחידה נקראת מונויד. במלים אחרות, מונויד הוא מערכת הכוללת קבוצה, פעולה אסוציאטיבית, ואיבר יחידה. כשמדובר במונויד אבסטרקטי, מקובל להקצות את הסימון 1 לאיבר היחידה (יש ספרים המעדיפים את הסימון e למטרה זו, כדי להתאים למקרים שבהם איבר היחידה כבר זכה לסימון משלו). כדי להדגיש את הנחיצות של המרכיבים השונים, מציגים את המונויד לפעמים גם כשלשה סדורה, (1,,M). כשאיבר היחידה ידוע אפשר להשמיט אותו מהסימון. תרגיל (**) תהי A קבוצה. הוכח ש { A M = A A = {f : A עם פעולת ההרכבה הוא מונויד. תרגיל (**) יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. הוכח שאוסף ההעתקות הלינאריות } V,Hom F (V ) = {T : V עם פעולת ההרכבה, הוא מונויד. תרגיל (*+) כתוב את לוחות הכפל של כל שבעת המונוידים בעלי 3 אברים. (המיון הוא עד כדי איזומורפיזם, כמובן.) תרגיל (**) אם S S = חבורות למחצה איזומורפיות, ו S היא מונויד, אז גם S הוא מונויד (ראה תרגיל ). תרגיל (*) קבע לגבי כל אחת מהמערכות הבאות האם היא חבורה למחצה והאם היא מונויד..1 0} > x R >0 = {x : עם פעולת הכפל. 2. אוסף המטריצות ) F) M n עם פעולת הכפל. 3. Z עם פעולת החיסור. 4. אוסף המספרים הרציונליים עם הכפל הרגיל. תרגיל (*+) קבע לגבי כל אחת מהמערכות הבאות האם היא מונויד. הפעולה היא בכל מקרה כפל נקודתי, g(t).(f g)(t) = f(t).1 אוסף הפונקציות הרציפות R 1].[0, 2. אוסף הפונקציות הרציפות שאינן מתאפסות זהותית בקטע [1,0]. 3. אוסף הפוקנציות הרציפות שאינן מתאפסות זהותית באף תת קטע פתוח של [1,0]. תרגיל (**) השלם את לוח הכפל של מונויד c} M = {1, a, b, שבו 1 איבר יחידה,,ab = c.ca = ו b bc = a תרגיל (**) הראה שכל חבורה למחצה S אפשר להרחיב למונויד {e} S, = S אם נגדיר את e להיות איבר היחידה במבנה החדש. תרגיל (**) תאר את המונויד המתקבל לאחר חזרה n פעמים על הבניה של תרגיל 1.2.9, כשמתחילים ממונויד האפס {0} = M. תרגיל (**) M מונויד. נקבע,z M ונרחיב את הפעולה לפי.zm = mz = z הוכח ש { z } M מונויד, שבו z הוא איבר האפס. 11

12 פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות 1.2. מונוידים 2. נניח ש { 0 } = M. תאר את המונויד המתקבל אחרי n הפעלות של התהליך הזה. הראה שהוא איזומורפי למונויד של תרגיל תרגיל (**) נאמר שפולינום f(x) ממעלה n הוא פולינדרום אם ) 1 f(x f(x) = x n (בדוק שהגדרה זו שקולה לכך שהפולינום הוא מהצורה + n 1 a 0 + a 1 x + a 2 x a 2 x n 2 + a 1 x a). 0 x n הראה שאוסף הפולינומים הפולינדרומיים הוא מונויד ביחס לכפל. הוכח שכל פולינום פולינדרומי הוא מהצורה ) 1 x x m g(x + כאשר g פולינום ממעלה.m תרגיל (**) מיין, עד כדי איזומורפיזם, את על המונוידים מסדר 4 שכל אבריהם מקיימים את הזהות.x 2 = x הערה מספר המונוידים בגודל n גדל במהירות כפונקציה של n: יש 31559, 2237, 228, 35, 7, מונוידים לא איזומורפיים מסדר, , 3, [סדרה A באנציקלופדיה לסדרות של מספרים טבעיים של.N.].J.A Sloane (השווה להערה ; תרגיל מסביר את הקשר בין הסדרות.) אברים הפיכים מימין ומשמאל כמו במקרה של חבורות למחצה, איברים מיוחדים הם הצעד הראשון לפענוח המבנה של מונוידים. הגדרה יהי M מונויד. איבר a M הוא הפיך מימין אם קיים b M כך ש 1 =,ab והפיך משמאל אם קיים b M כך ש 1 =.ba האיבר a הוא הפיך אם קיים b M כך ש 1 = ba.ab = תרגיל (*+) אם a הפיך מימין ומשמאל אז הוא הפיך. מה יש כאן להוכיח? תרגיל (**) אם a הפיך אז האיבר b המקיים = 1 ab הוא יחיד; מסמנים אותו בסימון 1 a. תרגיל (**) הראה שאם a הפיך אז 1 a הפיך ו a.(a 1 ) 1 = תרגיל (**) אם a, b הפיכים אז ab הפיך ו 1 a.(ab) 1 = b 1 תרגיל (**) אם a הפיך אז לכל > 0,n.(a n ) 1 = (a 1 ) n תרגיל (+**) הוכח את כללי החזקות,(a n ) m = a nm,a n+m = a n a m לכל.n, m Z הדרכה. ראשית הוכח את הטענות באינדוקציה כפולה עבור,n m N ואז הוכח לערכים שלמים כלשהם בעזרת תרגיל תרגיל (**) אם aba הפיך אז גם,a b הפיכים. תרגיל (**) קבע אילו אברים של המונויד A A מתרגיל הם הפיכים מימין או משמאל. חזור על השאלה עבור המונויד ) V) Hom F מתרגיל תרגיל (**) נתבונן בקבוצה X = N N של פונקציות.N N נסמן ב d,u את הפונקציות + 1 n d(n) = max {n 1, 0},u(n) = (הפונקציה 1 n n אינה מוגדרת). חשב את ההרכבות du ו ud. הסק ש d הפיך מימין ו u הפיך משמאל, אבל שניהם לא הפיכים. V = F ℵ 0 מרחב הסדרות מעל.F נתבונן בהעתקות תרגיל (**) יהי F שדה ו.Hom F (V השייכות ל ( D : (x 1, x 2,... ) (x 2, x 3,... ),U : (x 1, x 2,... ) (0, x 1, x 2,... ) חשב את UD ואת DU במונויד ) V).Hom F הסק ש D הפיך מימין ו U הפיך משמאל, אבל שניהם לא הפיכים. 12

13 1.3. חבורות פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות תרגיל (**) אם במונויד מתקיים aba = a ו 1 = a,ab 2 אז 1 b.a = תרגיל (**) M מונויד סופי, ו a M הפיך מימין. הוכח ש a הפיך. תרגיל (**) יהי ) (M, מונויד, ויהי.a M נגדיר.x y = x a y הוכח ש ( (M, חבורה למחצה. מצא תנאי הכרחי ומספיק לכך ש (,M) מונויד. הראה שאם (,M) מונויד, אז הוא איזומורפי ל (,M). תרגיל (**) הראה שאוסף הפולינומים (מעל שדה נתון) הוא מונויד ביחס להרכבה. מהם האברים ההפיכים מימין? ומשמאל? 1.3 חבורות הגדרה מונויד שבו כל האברים הפיכים נקרא חבורה. במלים אחרות, חבורה היא קבוצה G עם פעולה אסוציאטיבית, איבר יחידה 1, ולכל x קיים y כך ש 1 = yx.xy = כמו במונוידים, אומרים לפעמים ש (,G), 1 G היא חבורה. תרגיל (***-) נניח שבחבורה למחצה S יש יחידה משמאל e, והופכי משמאל לכל איבר (כלומר לכל a יש a כך ש e a; a = לא ידוע ש a הנ"ל הוא יחיד). אז S חבורה. הדרכה. מכיוון ש aa,(aa )(aa ) = a(a a)a = aea = קיבלנו.aa = e(aa ) = (aa ) (aa )(aa ) = (aa ) (aa ) = e לכן גם.a ההפכי של a מימין ו יחידה ומכאן ש e,ae = aa a = ae = a {( ) } a b 0 0 תרגיל (*) באוסף המטריצות 0 a : a, b F, האברים ניתנים לצמצום מימין, אבל זו לא חבורה. יש יחידה משמאל, וכל תרגיל (***) אם בחבורה למחצה S יש פתרון לכל משוואה מהצורה ax = b או,xa = b אז זו חבורה. הדרכה. יהי a. S לפי ההנחה יש e S (התלוי ב a ) כך ש a.ae = לכל c S קיים x כך ש xa c, = ואז ;ce = xae = xa = c מכאן ש e יחידה מימין. באותו אופן יש יחידה משמאל, ונותר לבחור b. = e הגדרה אומרים שבחבורה למחצה S יש צמצום משמאל אם לכל,ax = ay = x = y,a, x, y S וצמצום מימין אם.xa = ya = x = y תרגיל (*+) כל מונויד המוכל בחבורה (עם אותה פעולה) הוא בעל צמצום מימין ומשמאל. תרגיל (***) חבורה למחצה סופית S עם צמצום מימין ומשמאל היא מונויד..a S הדרכה. נבחר על ידי צמצום משמאל, הפונקציה l a : x ax חד חד ערכית, ומכיוון ש S סופית l a גם על, ולכן יש e S כך ש a ae = (אולי e תלוי ב a ). לכל,aex = ax x, S ועל ידי צמצום משמאל נובע,ex = x כלומר e יחידה משמאל. בפרט,ee = e ולכל x S מתקיים.xee = xe על ידי צמצום מימין מתקבל,xe = x כלומר e איבר יחידה. תרגיל (**) S חבורה למחצה סופית, ו S Sa = as = לכל.a S הוכח ש S מונויד. תרגיל (**) מונויד שבו כל האברים הפיכים מימין הוא חבורה. תרגיל (***+) האם מונויד שבו כל איבר הפיך מימין או משמאל הוא בהכרח חבורה? משפט מונויד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה. תרגיל (**+) הוכח את משפט הדרכה. יהי (1,M) מונויד סופי עם צמצום משמאל. לכל a, M הפונקציה l a : x ax חד חד ערכית ולכן על; לכן קיים a כך ש 1 =,aa כלומר a הפיך מימין. סיימנו לפי תרגיל , או בעזרת העובדה שגם a הפיך מימין. זה המשפט המרכזי על מונוידים. 13

14 פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות 1.4. תת מבנים תרגיל (**+) תן דוגמה למונויד (אינסופי) עם צמצום משמאל שאינו חבורה. תרגיל (**) הוכח שהמערכות הבאות הן חבורות: {( ) }, x y עם כפל המטריצות הרגיל. y x : x, y R, (x, y) (0, 0).1 ;a 1 a = ;ab ו 1 a, b אם a b = a+b 1 ab עם הפעולה R = R { }.2. = 0 ; 0 = 0 = ;a ל 0 a = a = 1 a תרגיל (**) תהי G חבורה עם,a. b G הוכח: למשוואה xax = b יש פתרון אם ורק אם ab הוא ריבוע ב G. הדרכה. אם xax = b אז.(ax) 2 = ab תרגיל (***) תהי G חבורה עם.a G הוכח: למשוואה 1 a x 2 ax = יש פתרון אם ורק אם a הוא חזקה שלישית ב G. הדרכה. אם = 1 ax ax 2 אז ) 2 2,x = (ax ומכאן x(ax 2 ) = (ax 2 )x ו xa.ax = x.f a : הוכח ש { R {f a : a היא x 1+ax 2 נסו להמציא דוגמאות משלכם. תרגיל (**) נתבונן בפונקציות הממשיות חבורה ביחס להרכבת פונקציות. תרגיל (**) כתוב את לוח הכפל של חבורה בגודל 6, שבה יש אברים,σ τ המקיימים.τ 2 = 1,σ 3 = 1,στ τσ הדרכה. אברי החבורה הם ;1, σ, σ 2, τ, στ, σ 2 τ הוכח שכל אלה שונים זה מזה, ומצא את,τσ שמוכרח להיות איבר באותה רשימה. תרגיל (**) תהי (,S) חבורה למחצה. מסמנים ב S op את החבורה למחצה (,S) כאשר.a b = b a 1. אם M מונויד אז M op מונויד; אם G חבורה אז G op חבורה..2 הראה שלכל חבורה.G = G op,g.s = S op 3. תן דוגמה לחבורה למחצה S כך ש 1.4 תת מבנים המפתח לתורת המבנה של החבורות (וגם של מונוידים וחבורות למחצה, שבקורס הזה משחקות תפקיד משנה בלבד) הוא בקשרים בינן לבין תת חבורות שלהן תת חבורה למחצה הגדרה תהי S חבורה למחצה. תת קבוצה S S נקראת תת חבורה למחצה אם היא תת חבורה למחצה ביחס לפעולה המושרית מ S. הפעולה המושרית היא הפעולה של S, כשמיישמים אותה לאברי S בלבד. פעולה בינארית היא פונקציה,S S S כלומר, פורמלית, האוסף b)} {(a, b, a של שלשות סדורות ב S.S S הפעולה המושרית היא החיתוך של הפעולה עם S.S S אם S,a b הפעולה החדשה אינה מוגדרת היטב, משום שאין בה שלשה מהצורה (x,a).,b תרגיל (*) תת קבוצה לא ריקה של חבורה למחצה S היא תת חבורה למחצה אם ורק אם היא סגורה לכפל. תרגיל (***-) בתרגיל , מצא את כל תת החבורות למחצה מהצורה (b,a), [b,a), התוכל למצוא תת חבורה אלו הן תת החבורות הקשירות. הערה. (b,a] או [b,a] של [,1 ]. שאינה קשירה? תרגיל (**) תהי S חבורה למחצה. אם e S אידמפוטנט, אז S} ese = {exe : x תת חבורה למחצה שהיא מונויד, עם איבר היחידה e (מדוע e?) ese 14

15 1.4. תת מבנים פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות תת מונויד הגדרה יהי M מונויד עם יחידה 1. M תת קבוצה M M היא תת מונויד אם היא סגורה לכפל ו.1 M M אם M M הוא תת מונויד מקובל לסמן.M M תרגיל (*+) יהי V מרחב וקטורי. אז ) V) Hom F הוא תת מונויד של V V ביחס לפעולת ההרכבה. תרגיל (**) תהי I קבוצה של אינדקסים, ויהיו (i I) M i M תת מונוידים. ש M i תת מונויד. מדובר בחיתוך כלשהו, לאו דווקא סופי או בן מניה. הוכח הגדרה קבוצה סדורה חלקית I נקראת קבוצה מכוונת אם לכל,i j I יש k I כך ש j k. >,i M} i } i I נקראת רשת עולה אם תרגיל (**) תהי I קבוצה מכוונת. מערכת של מונוידים לכל i < j מתקיים.M i M j הוכח שבמקרה זה M i הוא מונויד. (מדוע נדרשנו להניח ש I מכוונת? ומדוע נדרשת ההנחה שזו רשת עולה?) בפרט: אם 2 M 1 M מונוידים, גם איחוד השרשרת M i הוא מונויד תת חבורה הגדרה תהי G חבורה. תת קבוצה H G היא תת חבורה אם היא מהווה חבורה ביחס לפעולה המושרית מ G. גם כאן, הסימון H G מיוחד לתת חבורות. תרגיל (**) תת קבוצה לא ריקה H של חבורה G היא תת חבורה אם ורק אם היא כוללת את איבר היחידה, סגורה לכפל, וסגורה להיפוך (כלומר לכל x H מתקיים x.) 1 H תרגיל (**) תהי H תת קבוצה לא ריקה של חבורה G. אם לכל,x y H מתקיים.H G אז,xy 1 H תרגיל (**) אם G חבורה סופית ו G = H סגורה לכפל, אז H תת חבורה. הדרכה. משפט תרגיל (*) בכל חבורה G, הקבוצה } G 1} היא תת חבורה, הנקראת תת החבורה הטריוויאלית. בדרך כלל נשמיט את סימון הקבוצה, ונדבר על תת החבורה 1. תרגיל (*) אם N H ו G,H אז.N G תרגיל (*) תהיינה G 2,G 1,H תת חבורות של.G אם H G 1 G 2 אז H G 1 או H. G 2 בפרט איחוד של שתי תת חבורות אינו יכול להיות תת חבורה, אלא אם הוא שווה לאחת מהן. (ראה גם תרגיל ) הגדרה יהי M מונויד. מסמנים ב ( U(M את קבוצת האברים ההפיכים ב M. תרגיל (*) לכל מונויד U(M) M, היא חבורה. (איננו קוראים ל ( U(M ''תת חבורה'' של M, משום ש M אינה חבורה.) הדרכה. תרגיל תרגיל (*) אם G חבורה אז.U(G) = G 15

16 1.5. מכפלה ישרה חיצונית פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות תרגיל (**) לתרגיל 1.4.7). 1. החיתוך של משפחה כלשהי של תת חבורות הוא תת חבורה (השווה 2. האיחוד על פני רשת עולה של תת חבורות (ראה תרגיל 1.4.9) הוא חבורה. 3. האיחוד של שרשרת של חבורות הוא חבורה. הגדרה תהי S קבוצה של אברים בחבורה G. מסמנים ב S את חיתוך כל תת החבורות של G המכילות את S. זוהי תת חבורה לפי תרגיל לפי ההגדרה, S היא תת החבורה הקטנה ביותר של G המכילה את S. קוראים לה תת החבורה הנוצרת על ידי S. אם S G, = אומרים ש S יוצרת את G. את אותה חבורה אפשר ליצור על ידי קבוצות רבות. אין משמעות לביטוי ''הקבוצה היוצרת'', או ''האיבר היוצר'', בהא הידיעה. תרגיל (**) לכל חבורה G ואיבר x, G האברים של תת החבורה x הם החזקות של x. הגדרה חבורה נוצרת סופית היא חבורה שיש לה קבוצת יוצרים סופית. תרגיל (**) תהי G חבורה, ויהיו.x 1,..., x n G תת החבורה n x 1,..., x שווה.ϵ j ו { ±1 },i j {1,..., n},m N כאשר x ϵ 1 i1 x ϵ m im לקבוצת כל האברים מהצורה (בהחלט יתכן שאפשר להציג את אותו איבר בדרכים שונות.) תרגיל (**+) תן דוגמה לחבורה שאינה נוצרת סופית. הדרכה. אם אינך רואה דוגמא בשלב זה, העזר בתרגיל מכפלה ישרה חיצונית כהכנה לפרק הבא, שבו נפגוש כמה דוגמאות סטנדרטיות לחבורות, נציג כאן בניה פשוטה היוצרת חבורה חדשה מחבורות נתונות. הגדרה תהיינה G 1, G 2 חבורות. המכפלה הישרה החיצונית שלהן היא המכפלה הקרטזית G 1 G 2 עם הפעולה לפי רכיבים, כלומר ).(g 1, g 2 )(g 1, g 2 ) = (g 1g 1, g 2g 2 תרגיל (*) תהיינה G 1, G 2 חבורות. המכפלה G 1 G 2 היא חבורה, עם איבר היחידה.(x, y) 1 = (x 1, y 1 ) ונוסחת ההיפוך,(1 G1, 1 G2 ) תרגיל (*) ה"קומוטטיביות" וה"אסוציאטיביות" של מכפלה ישרה חיצונית: חבורות G, H, K מתקיים: לכל שלוש.G H = H G.1.(G H) K = G (H K).2 תרגיל (**) אם N תת חבורה של G, ו M תת חבורה של H, אז N M תת חבורה של.G H 2. תן דוגמה לחבורה G H עם תת חבורה שאינה מתקבלת בצורה זו. 16

17 1.6. הומומורפיזמים פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות תרגיל (-***) בהמשך לתרגיל, מצא דוגמה לתת חבורות H G 1 G 2 G 3 כך ש H אינה מוכלת בשום איחוד.G i G j הדרכה. קח,G = Z 2 Z 2 כאשר 1} {0, = 2 Z עם פעולת החיבור מודולו 2. תרגיל (**) {1} G ו H {1} הן תת חבורות של.G H המכפלה G H נוצרת על ידי האיחוד שלהן (אבל אינה שווה לו). תרגיל (**) הגדר את המכפלה הישרה של שתי חבורות למחצה, והראה שהיא חבורה למחצה. כך גם עבור מונוידים. תרגיל (-**) יהיו M 1, M 2 מונוידים. הראה ש ( U(M 1 M 2 ) = U(M 1 ) U(M 2 (ראה הגדרה ). הגדרנו לעיל מכפלה ישרה של שתי חבורות, ומכאן באינדוקציה מכפלה ישרה של מספר סופי כלשהו. אפשר להכליל את אותה הגדרה למכפלה של משפחה כללית: הגדרה תהי Λ קבוצת אינדקסים כך שלכל λ Λ מתאימה חבורה G. λ פונקציית בחירה היא פונקציה f : Λ G λ כך שלכל.f(λ) G λ,λ Λ המכפלה הישרה λ Λ G λ מוגדרת כאוסף פונקציות הבחירה, עם הפעולה f(λ)g(λ).(fg)(λ) = תרגיל (**) המכפלה הישרה של חבורות היא חבורה. תרגיל (**+) אקסיומת הבחירה היא האקסיומה הקובעת שהמכפלה הישרה של משפחת קבוצות כלשהי אינה ריקה. הסבר מדוע אין צורך באקסיומת הבחירה כדי להוכיח שהמכפלה הישרה של משפחת חבורות כלשהי אינה ריקה. תרגיל (**) אם 2} {1, =,Λ הגדרה חוזרת על הגדרה הגדרה תהי Λ קבוצת אינדקסים כך שלכל λ Λ מתאימה חבורה G. λ הסכום הישר λ Λ G λ מוגדר כאוסף פונקציות הבחירה f שעבורן } Gλ λ} : f(λ) 1 סופית, עם אותה פעולה כמו במכפלה הישרה. תרגיל (**) λ λ Λ G היא תת חבורה של λ Λ G λ, והחבורות מתלכדות אם Λ סופית.. n Z ו Z n Z תרגיל (**) חשב את העוצמה של שתי החבורות Z תרגיל (+**) הראה שלחבורה n Z Z 2, שהיא בת מניה, יש ℵ תת חבורות. 1.6 הומומורפיזמים הגדרה תהיינה A, B חבורות למחצה. העתקה φ : A B המקיימת את התנאי φ(x)φ(y) φ(xy) = לכל x, y A נקראת הומומורפיזם של חבורות למחצה. אם A, B מונוידים ובנוסף מתקיים φ(1 A ) = 1 B אז φ הומומורפיזם של מונוידים. תרגיל (*) יהיו M, N, K מונוידים. אם,φ 1 : M N ו K φ 2 : N הומומורפיזמים של מונוידים, אז ההרכבה φ 2 φ 1 : M K היא הומומורפיזם (של מונוידים). תרגיל (**) מצא מונוידים M, N והומומורפיזם של חבורות למחצה,φ : M N שאינו הומומורפיזם של מונוידים (כלומר, φ שומר על כפל אבל לא על איבר היחידה). הצעה. קח 17.φ(x, y) = (x, 0) עם M = N = Z Z

18 פרק 1. חבורות למחצה, מונוידים וחבורות 1.6. הומומורפיזמים תרגיל (*) יהיו,M N מונוידים, ו N φ : M הומומורפיזם של חבורות למחצה. אם φ על, אז φ הומומורפיזם של מונוידים. תרגיל (**) אם A, B חבורות ו A B φ : הומומורפיזם של חבורות למחצה, אז = ) A φ(1.a A לכל φ(a 1 ) = φ(a) ו 1 1 B הגדרה תהיינה,G H חבורות. כל פונקציה שומרת כפל φ : G H נקראת הומומורפיזם של חבורות, או סתם הומומורפיזם. לאור תרגיל 1.6.5, כל הומומורפיזם של חבורות שומר על איברי היחידה ועל פעולת ההפכי. הגדרה יהי φ : G H הומומורפיזם של חבורות. הקבוצה G} Im(φ) = {φ(x) : x היא התמונה של.φ הקבוצה 1} = φ(x) Ker(φ) = {x G : היא הגרעין של.φ (להומומורפיזם בין מונוידים מגדירים,Ker(φ) = {(x, y) : φ(x) = φ(y)} M M ולא } M x}. : φ(x) = 1 קבוצה זו של זוגות סדורים היא יחס שקילות על M, הנשמר תחת פעולת הכפל. יחס כזה נקרא קונגרואנציה, והוא התחליף של חבורות למחצה למושג החשוב של תת חבורה נורמלית, שנלמד בהמשך. לא נזדקק להגדרה זו בהמשך הקורס.) תרגיל (*) הוכח: Im(φ) הוא תת חבורה של H. תרגיל (**) הוכח: Ker(φ) K = הוא תת חבורה של.G תרגיל (+**) G H φ : חד חד ערכית אם ורק אם = 1.Ker(φ) תרגיל (**) יהי φ : G 1 G 2 הומומורפיזם של חבורות. הראה שלכל תת חבורה H φ(h) = {φ(x) : x H},G 1 היא תת חבורה של.G 2 (היינו, התמונה של תת חבורה היא תת חבורה.) תרגיל (**) תהי G חבורה הנוצרת על ידי קבוצה S. אם,φ φ : G H מסכימים על אברי S, אז הם שווים. הגדרה הומומורפיזם שהוא חד חד ערכי נקרא מונומורפיזם או שיכון. אפימורפיזם. הומומורפיזם שהוא על נקרא כבר ראינו שהומומורפיזם חד חד ערכי ועל נקרא איזומורפיזם. H(f) = lim inf n תרגיל (***) עבור פונקציה,f : N Q נסמן 1 {(i, j) : 1 i, j n, f(i) + f(j) = f(i + j)}. n2 (זו המידה שבה f שומרת חיבור). מצא פונקציה חד חד ערכית ועל f שעבורה = 1.H(f) 18

19 פרק 2 דוגמאות לחבורות בפרק הזה נכיר את הדוגמאות הבסיסיות לחבורות. המחלקה הראשונה היא של חבורות אבליות, שהן החבורות המקיימות את החוק.ab = ba הדוגמא הפשוטה ביותר לחבורה אבלית (ולחבורה בכלל) היא חבורה ציקלית, שהיא חבורה שכל אבריה הם חזקות של איבר קבוע. כדי להבין את החבורות הציקליות על בוריין, נלמד מבוא מזורז לתורת המספרים, המפתח בעזרת רעיון החליוק עם שארית של אוקלידס את מושג המחלק המשותף המקסימלי. מכאן נובע בקלות יחסית המשפט היסודי של האריתמטיקה, על פירוק יחיד לגורמים. הרעיונות מתורת המספרים מאפשרים להציג משפחה נוספת של חבורות אבליות: חבורות אוילר, המאפשרות (כפי שנראה בפרק הבא) להסיק ממשפטים בתורת המספרים את המשפטים הקלאסיים של פרמה ואוילר. נוכיח גם את התכונה העיקרית של חבורות ציקליות (משפט ): כל תת חבורה של חבורה ציקלית היא בעצמה ציקלית. את רשימת החבורות האבליות בפרק הזה משלימות החבורות המופיעות באופן טבעי בשדה, שהן חבורות אבליות אינסופיות. בסעיפים האחרונים מוצגות החבורות הסימטריות, שהן אולי הדוגמא החשובה ביותר לחבורה לא אבלית סופית, ואחריהן חבורות של מטריצות, שהן דוגמא מרכזית לחבורות לא אבליות אינסופיות. הסעיף האחרון מציג משפחה נוספת של חבורות לא אבליות סופיות: החבורות הדיהדרליות. 2.1 חבורות אבליות אברים,x y G מתחלפים זה עם זה, אם מתקיים.xy = yx תרגיל (*) יהי φ : G 1 G 2 הומומורפיזם. הוכח: אם x, y מתחלפים ב,G 1 אז φ(y) φ(x), מתחלפים ב G. 2 תרגיל (*) יהי φ : G 1 G 2 איזומורפיזם. הוכח: x, y מתחלפים ב,G 1 אם ורק אם מתחלפים ב.G 2 φ(x), φ(y) הגדרה חבורה שבה כל שני אברים מתחלפים זה עם זה נקראת חבורה אבלית. (החבורות נקראות כך על שם המתמטיקאי הנורבגי (.Niels Henrik Abel תרגיל (*) קבוצת המספרים השלמים Z, ביחס לפעולת החיבור, היא חבורה אבלית. תרגיל (*) המכפלה G 1 G 2 אבלית אם ורק אם שני המרכיבים G 1, G 2 אבליים. הגדרה תהי G חבורה. המר כז של G הוא תת החבורה xg} Z(G) = {x G : ( g)gx = הכוללת את האברים המתחלפים עם כל איבר של G. תרגיל (*) Z(G) היא תת חבורה אבלית של G, השווה לה אם ורק אם G עצמה אבלית. 19

20 2.1. חבורות אבליות פרק 2. דוגמאות לחבורות הגדרה יהי F שדה; מסמנים {0} F F = עם פעולת הכפל. תרגיל (+**) יהי F שדה. אז 0) +, (F, חבורה, 1), (F, מונויד, ו ( 1,, (F חבורה. למעשה, קבוצה 1), 0, +, (F, היא שדה אם ורק אם 0) +, (F, ו ( 1, {0}, (F חבורות אבליות, ומתקיימת אקסיומת הדיסטריבוטיביות.(a + b)c = ab + ac אומרים שאיבר x הוא בעל סדר 2 אם = 1 2 x אבל 1 x. הכללה של מושג זה תשרת אותנו רבות בהמשך; ראו הגדרה תרגיל (**) בחבורה מתקיים = 1 2 x לכל איבר. הוכח שהחבורה אבלית. (ראה הכללה בתרגיל ) תרגיל (+**) בחבורה סופית A מתקיים = 1 2 x לכל איבר. של 2. הדרכה. A הוא מרחב וקטורי מעל F. 2 הראה ש A הוא חזקה.b = a 1 a 2 a n נסמן תרגיל (-***) תהי } n G = {a 1,..., a חבורה אבלית סופית. (איבר זה מוגדר היטב משום שסדר הגורמים אינו חשוב)..1 הוכח: = 1 2.b 2. אם יש איבר יחיד מסדר 2, הוא שווה ל b. 3. אם יש יותר מאיבר אחד מסדר 2, אז = 1 b. הדרכה. נסמן ב A את אוסף האיברים מסדר 2 עם איבר היחידה; העזר בתרגיל תרגיל (**) נסמן ב ( G ) m 2 את מספר הפתרונות למשוואה = 1 2 x בחבורה.G.1 הראה שבכל חבורה סופית.m 2 (G) G (mod 2),G הדרכה. נגדיר על G יחס שקילות: x y אם x = y או = 1.xy האברים שריבועם אינו 1 שייכים למחלקות שקילות בגודל בכל חבורה עם מספר זוגי של איברים יש איבר מסדר 2. תרגיל (**) תהי G חבורה אבלית. הראה שאוסף האברים מסדר 2, עם איבר היחידה, הוא תת חבורה. הסק מתרגילים ו שבחבורה אבלית שגודלה אי זוגי אין אברים מסדר 2. תרגיל (**) תהי G חבורה. הראה שאם g הוא מכפלה של שני אברים מסדר 2, אז גם.k כזה לכל g k תרגיל (***) נסמן ב Φ n את התכונה x y : (xy) n = x n y n (שיכולה להתקיים או לא להתקיים בחבורה נתונה). התכונה Φ 1 מתקיימת תמיד. הוכח:.Φ n Φ 1 n.1 2. החבורה אבלית אם ורק אם מתקיים Φ. 2.3 אם Φ n אז לכל x, y מתקיים.x n y n 1 = y n 1 x n.4 אם Φ n אז לכל.x n(n 1) Z(G),x.5 אם n+1 Φ n Φ אז לכל.x n Z(G),x.6 אם n+2 Φ n Φ n+1 Φ אז החבורה אבלית. 20

21 דוגמאות לחבורות 2.2. מבוא לתורת המספרים פרק 2..7 אם n+m+1 Φ n Φ n+1 Φ n+m Φ עבור n, m זרים כלשהם, אז החבורה אבלית. (ראה גם תרגילים ו ) תרגיל (***) בהמשך לתרגיל, נניח שבחבורה מתקיים x 2 y = yx 2 לכל.x, y הוכח שלכל n זוגי, n+1 Φ n Φ ו n 4.Φ n Φ הסק שכל התכונות 4k+1 Φ 4k, Φ מתקיימות, וכל התכונות 2 4k Φ 1 4k, Φ שקולות לאבליות של החבורה. תן דוגמא לחבורה לא אבלית שבה.x 2 y = yx 2 תרגיל (**) תהי G חבורה כלשהי. אם A אבלית, אז האוסף (A Hom(G, של ההומומורפיזמים,G A ביחס לכפל לפי רכיבים (g),(ϕ ϕ )(g) = ϕ(g)ϕ הוא חבורה אבלית. 2.2 מבוא לתורת המספרים בסעיף זה נאסוף כמה תכונות חיוניות של המספרים השלמים. לשם כך עלינו להכיר את קבוצת המספרים השלמים Z, עם פעולות החיבור והכפל ויחס הסדר, עם האקסיומות הסטנדרטיות שאלה מקיימים, ועם התכונה הידועה כאקסיומת האינדוקציה: אם P Z היא קבוצה של מספרים טבעיים כך ש P 0 ולכל > 0 n אם n P אז,n + 1 P אז כל מספר חיובי שייך ל.P תרגיל (**) הוכח את אקסיומת האינדוקציה השלמה: אם P Z היא קבוצה של מספרים טבעיים המקיימת את שתי התכונות (1) P ;0 (2) לכל > 0,n אם לכל m < n 0 מתקיים P. אז כל מספר חיובי שייך ל n; P אז m, P יחס החילוק הגדרה נגדיר יחס על קבוצת המספרים השלמים: ("a a b מחלק את b") אם קיים c כך ש ac b. = ביחס לפעולת הכפל, Z מהווה מונויד (אבל לא חבורה). האברים ההפיכים של המונויד הזה הם.U(Z) = {±1} תרגיל (*) b a אם ורק אם ( b) a אם ורק אם ( a) b אם ורק אם ( b).( a) תרגיל (*) לכל n n, 1 ו 0 n. מאידך, המחלקים היחידים של 1 הם ±1, והמספר היחיד המתחלק ב 0 הוא 0 עצמו. תרגיל (**) היחס 'מחלק' הוא רפלקסיבי וטרנזיטיבי, אבל לא אנטי סימטרי המחלק המשותף המקסימלי משפט (האוקלידיות של (Z לכל n Z ולכל 0 d קיימים q, r כך ש qd+r n = ו d r <.0 הדרכה. אינדוקציה עבור 0 ;n ואם n = qd + r אז r). n = ( q 1)d + (d הגדרה המחלק המשותף המקסימלי של,n, m Z כפי שמתבקש משמו, הוא המספר = (m,n).max d Z {d : d n, d m} תרגיל (*) המחלק המשותף המקסימלי (m±,n±) אינו תלוי בסימנים. תרגיל (*) n).(n, m) = (m, תרגיל (*) אם n = qm + r אז r).(n, m) = (m, 21

22 2.2. מבוא לתורת המספרים פרק 2. דוגמאות לחבורות אלגוריתם (אלגוריתם אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי) יהיו,n. m Z אפשר להניח ש n m <.0 אם = 0 m אז.(n, m) = n אחרת אפשר לכתוב n = qm + r כאשר r < m,0 ואז r),(n, m) = (m, שכבר חושב באינדוקציה. לדוגמא, = 6) (30, = 30) (36, = 36) (138, = 138) (174, = 174) (486, = 486) (1146,.(6, 0) = 6 תרגיל (*) מצא את 1260) (5614, ואת 6429).(7821, משפט לכל,n, m Z קיימים α, β Z כך ש ( m.αn + βm = (n, תרגיל (***) הוכח את המשפט. הדרכה. נסמן 0} > βm.c = (a, b),d = min {αn + מכיוון ש b,c a, ברור ש d.c כתוב,a = qd + r והראה ש 0 = ;r לכן d a ובדומה,d b כך ש c.d משפט יסודי ושימושי בתורת המספרים האלמנטרית. תרגיל (***) נסח את אלגוריתם אוקלידס המוכלל לחישוב מחלק משותף מקסימלי עם מקדמים. הדרכה. נסמן m).d = (n, אם n = qm + r ו d αm + βr = (את המקדמים האלו אפשר לחשב לפי הנחת האינדוקציה) אז.βn + (α βq)m = d דוגמא = ) (1, = 1) (10, = 10) (51, = 51) (61, = 61).(234, לצורך חישוב המקדמים, נבחין ש 1 = (0)0 + 1 ;(1) לכן = 1 1 (1) + 10 ;(0) לכן = 1 10 (5) 51 ;(1) לכן = 1 (6) ;( 5) ולבסוף = 1 61 ( 23) +.(6)234 תרגיל (**) מצא α, β Z כך ש 1 = 927β.1525α + הגדרה אומרים ש m n, זרים אם = 1 m).(n,.( n d, m d תרגיל (**) יהיו,n, m Z ונסמן m).d = (n, אז = 1 ) תרגיל (**) אם = 1 k),(m, אז k).(n, mk) = (n, m) (n, תרגיל (**) הוכח: ) m (n, mm ) (n, m) (n, הדרכה. כתוב ) m.an+bm = (n, m), a n+b m = (n, תרגיל (**) אם = 1 m),(n, אז k).(n, mk) = (n,. d (d,m) d תרגיל (**) אם d d אז לכל (d,m),m הגדרה הכפולה המשותפת המינימלית של n ו m היא s}.[n, m] = min s N {s : n s, m תרגיל (***) הוכח:.(n, m)[n, m] = nm תרגיל (**) Z עם יחס החלוקה הוא סריג (ראה הגדרה 4.4.1), שבו החסם העליון והתחתון הם m).n m = [n, m],n m = (n, תרגיל (**) ) (N, סריג דיסטריבוטיבי, כלומר - k).n (m k) = (n m) (n 1 anm (a n 1, מחלק את.m הסק a n 1 תרגיל (-***) הוכח שלכל > 1 a ולכל,n, m ) 1 an a זרים. שהמספרים 1 an ו 1 n a תרגיל (***-) יהיו,n m מספרים שלמים. n.( (n,m).1 הוכח שקיימים a a ו b b כך ש ab m = a b,n = ו 1 = ) b.(a,.2 הראה שאם n m אז b a, b, a, כנ"ל הם יחידים. הדרכה. חשב את m) n, 22

23 דוגמאות לחבורות 2.2. מבוא לתורת המספרים פרק שקילות מודולו n הגדרה יהי n Z קבוע. נגדיר יחס על המספרים השלמים: a שקול ל b מודולו n (כותבים a b.n (a b) אם ((mod n) תרגיל (*) היחס "שקילות מודולו n" הוא יחס שקילות. תרגיל (+**) נניח n) a a (mod ו ( n.b b (mod אז n) a + b a + b (mod ו ( n.ab a b (mod במלים אחרות, פעולות החיבור והכפל של מחלקות שקילות מוגדרות היטב. תרגיל (**) הוכח ש אינו ראשוני. הדרכה. מצא מספר < n כך ש (mod n) פירוק לראשוניים הגדרה מספר לא הפיך p הוא ראשוני אם בכל פירוק שלו p, = xy אחד הגורמים הפיך. תרגיל (**) כל מספר טבעי הוא מכפלה של ראשוניים. הדרכה. תרגיל תרגיל (*) מצא את הפירוק לראשוניים של המספרים הבאים: , 12960, 5720, תרגיל (*) אם p ראשוני, אז לכל p n,n או = 1 n).(p, טענה אם a זר ל b ו bc,a אז.a c תרגיל (**) הוכח את הטענה. הדרכה. כתוב = 1 βb.αa + תרגיל (*) הראה שטענה אינה תקפה אם מוותרים על הדרישה ש b,a יהיו זרים. תרגיל (**) אם p ראשוני ו ab p אז p a או.p b הדרכה. אם p a אז = 1 a) (p, לפי תרגיל, ואז p b לפי טענה משפט הפירוק של מספר טבעי לגורמים ראשוניים הוא יחיד עד כדי סדר. p t p כולם ראשוניים. לפי תרגיל i p i ו p i כאשר,p 1 p t = p 1 p t הוכחה. נניח ש לאיזשהו i; לפי ההגדרה p, i = p± t ואז אפשר לצמצם ולהמשיך באינדוקציה על t. אינסוף ראשוניים משפט (משפט אוקלידס) יש אינסוף מספרים ראשוניים. תרגיל (-***) הוכח את המשפט. הדרכה. נניח שהראשוניים הם p 1, p 2,..., p n בלבד. התבונן ב.P = p 1... p n + 1 תרגיל (**) הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה 1.4n הדרכה. אחרת תהי Q = p 1... p n מכפלת כל הראשוניים מצורה זו; התבונן ב 1 4Q. תרגיל (***) הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה + 1.4n הדרכה. אחרת תהי Q = p 1... p n מכפלת כל הראשוניים מצורה זו; התבונן ב 1 4Q 2 + והעזר בתרגיל תרגיל (**) הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה 1.6n הדרכה. אחרת תהי Q = p 1... p n מכפלת כל הראשוניים מצורה זו; התבונן ב 1 6Q. 23

24 2.3. חבורות ציקליות פרק 2. דוגמאות לחבורות משפט ההיפוך של מביוס ניתן לדלג בקריאה ראשונה. הגדרה הקונוולוציה של פונקציות f, g : N R מוגדרת כפונקציה,f g : N R שערכיה הם (.(f g)(4) = f(1)g(4) + f(2)g(2) + f(4)g(1) (למשל,.(f g)(n) = n 1 n 2 =n f(n 1)g(n 2 ).J(n) = 1,δ 1 (n) = { 1 n = 1 הגדרה הפונקציות δ 1, J : N R מוגדרות לפי > 1 n 0 ( 1) s n = p 1 p s µ(n) = 0 p : p 2 n 1 n = 1 תרגיל (**) ) 1 (R N,, δ מונויד קומוטטיבי. הגדרה פונקצית מביוס µ : N R מוגדרת לפי תרגיל (*) חשב את µ(24).µ(1), µ(2),..., תרגיל (**) µ(n)µ(m) µ(nm) = לכל = 1 m).(n, תרגיל (**) J µ = δ (כלומר לכל > 1,n d n µ(d) = 0 (. אז.F (n) = d n משפט (משפט ההיפוך של מביוס) נניח שפונקציה F מוגדרת לפי f(d).f(n) = d n µ( n d מתקיים (d) )F הוכחה. נתון ש f,f = J ולכן.µ F = µ (J f) = (µ J) f = δ 1 f = f תרגיל (*) בדוק את הנוסחה ל ( f(n ישירות עבור.n = 1, p, p 2, 6, 12 תרגיל (**) נסמן ב ( d(n את מספר המחלקים של n (למשל = 3 9} {1, 3, =.(d(9) d n µ( n d לכל.n בדוק את הנוסחה הוכח:.d = J J הסק: = 1 J(n) )d(d) = (d µ)(n) = עבור = 18.n היזכר בפונקציות מהגדרה נוסיף להן: הפונקציה Id : N R מוגדרת לפי.Id(n) = n תרגיל (**) משפחה של קבוצות } m F} היא בעלת התכונות הבאות:.(q קבוע (עבור F m = q m.1.f m F m = F (m,m ).2 כתוב את מספר האברים ב i.f n i<n F 2.3 חבורות ציקליות הגדרה חבורה הנוצרת על ידי איבר בודד נקראת חבורה ציקלית. במלים אחרות, חבורה ציקלית היא חבורה שיש בה איבר x G כך שכל האברים של G הם חזקות (חיוביות או שליליות) של x. תרגיל (*) כל חבורה ציקלית היא אבלית (תרגיל 1.1.3). תרגיל (**+) החבורה Z היא ציקלית אינסופית. כל איבר שלה, פרט לאיבר היחידה, יוצר תת חבורה איזומורפית. 24

25 דוגמאות לחבורות 2.3. חבורות ציקליות פרק 2. הגדרה יהי 1.n נגדיר 1]} [n,z n = {[0],..., אוסף מחלקות השקילות מודולו,n עם פעולת החיבור (של מחלקות), b].[a] + [b] = [a + כשמגדירים העתקה מקבוצה לקבוצה (ופעולה בינרית בכלל זה), עולה לפעמים צורך להוכיח שהפעולה מוגדרת היטב. ישנם שני מצבים שכיחים. בראשון, כדי להגדיר פונקציה f, : A B מגדירים את f(α) באופן מסויים, וצריך לוודא שאכן.f(α) B המקרה השני הוא כאשר A אוסף של מחלקות שקילות, ובהגדרת f(α) מבצעים בחירה (בדרך כלל של נציג מהמחלקה α). לדוגמא, בפעולת החיבור כתבנו y]'',''[x] + [y] = [x + במקום ''תהיינה α, β מחלקות; נבחר נציגים x α ו β ;y נגדיר y].''α + β = [x + אכן, בתרגיל בדקנו שבחירת כל שני נציגים y x, מאותן מחלקות תביא לאותה תוצאה, ולכן פעולת החיבור בין מחלקות (על ידי חיבור נציגים) מוגדרת היטב. להבא נשמיט את סימון הסוגריים מן המחלקות. כשנכתוב למשל Z 7 3, נתכוון למחלקה של כל המספרים המשאירים שארית 3 בחלוקה ל 7. בחבורה זו, = 10 3 = 4. תרגיל (**) הראה ש Z n (הגדרה 2.3.4) היא חבורה, שאיבר היחידה שלה הוא (המחלקה של) 0, וההפכי ניתן בה על ידי הנוסחה [a ] [a]. = בדוק שהחבורה אבלית. תרגיל (**) n Z נוצרת על ידי המחלקה 1, ולכן היא חבורה ציקלית. הגדרה מספר האברים בחבורה G נקרא הסדר של החבורה; מסמנים אותו ב G. הסדר של חבורה הוא הנתון הראשון בתעודת הזהות שלה. משפט כל חבורה ציקלית איזומורפית לאחת החבורות Z, n או ל Z. בפרט, כל שתי חבורות ציקליות מאותו סדר הן איזומורפיות זו לזו. תרגיל (**) השתמש בכלל הצמצום בחבורה (הגדרה 1.3.5) כדי להוכיח שכל חבורה מסדר 3,2 או 5 היא ציקלית. הדרכה. בחבורה מסדר,5 אם 1,a הראה שלא יתכן ש 1 = 2 a 3 = 1,a או = 1 4.a לכן האברים 2} a 1, a, a 1, a 2, { כולם שונים, ו 1 = 5.a תרגיל (**) מצא את כל לוחות הכפל האפשריים של חבורה מסדר 4. בדיוק לוחות הכפל של Z 4 ושל.Z 2 Z 2 הראה שאלו תרגיל (**) יהי.x G לכל x a, x b = x (a,b),a, b Z. הדרכה. משפט משפט כל תת חבורה של חבורה ציקלית היא ציקלית. תרגיל (**) הוכח את המשפט. הדרכה. בחר x a H עם > 0 a מינימלי. לכל,x b H הסק מתרגיל ש.x b x a תרגיל (**) מונויד M הוא ציקלי אם קיים a M כך ש }..., 2.M = { 1, a, a מצא דוגמה למונויד ציקלי בגודל 4 שאינו חבורה. כמה אפשרויות יש, עד כדי איזומורפיזם? לעומת זאת הראה שמונויד שבו כל איבר הוא מהצורה a n עבור > 0 n הוא חבורה. תרגיל (***) נניח ש n.m מצא מונומורפיזם φ : Z m Z n ואפימורפיזם ψ : Z n Z m (כמה אפשרויות יש בכל מקרה?). חשב את φ ψ ואת ψ. φ הראה שהתמונה Im(φ) והגרעין Ker(ψ) אינם תלויים בבחירת ההעתקות. 25

26 2.3. חבורות ציקליות פרק 2. דוגמאות לחבורות סדר של אברים הגדרה יהי x. G המספר > 0 m הקטן ביותר כך ש 1 = m x, אם קיים כזה, נקרא הסדר של x; אחרת אומרים ש x בעל סדר אינסופי. את הסדר של x מסמנים ב ( ord(x. תרגיל (**) הסדר של x G שווה לסדר של תת החבורה (הציקלית) הנוצרת x. תרגיל (*+) בחבורה סופית לכל איבר יש סדר סופי. טענה יהי.x G לכל x m = 1,m Z אם ורק אם.ord(x) m הוכחה. נסמן ord(x).e = אם e m אז ברור ש 1 = m/e.x m = (x e ) m/e = 1 נניח ש 1 = m,x ונכתוב (e, m) = αe + βm עבור.α, β Z אז = 1 β,x (e,m) = x αe+βm = (x e ) α (x m ) ולפי המינימליות של הסדר,.e = (e, m) m תרגיל (**) יהי φ : G 1 G 2 הומומורפיזם..1 הראה ש ( ord(x ord(φ(x)) לכל.x G 1.2 אם φ מונומורפיזם אז ord(x).ord(φ(x)) = תרגיל (*) הסדר של כל איבר ב Z n מחלק את n.. n טענה יהי x איבר מסדר n. אז הסדר של xd הוא (n,d).e = ord(x d n מאידך ) (n,d) ולפי טענה נובע מכך ש,(xd ) n (n,d) = (x n ) d (n,d) הוכחה. = 1 n. אלא שלפי תרגיל (n,d) d (n,d) e ולכן n de אז מאותה סיבה,xde = (x d ) e = 1 n n. (n,d) ), ולפי טענה נובע מכך ש e (n,d), d (n,d) ) = 1 תרגיל (**) האיבר x a יוצר את החבורה הציקלית x מסדר n אם ורק אם = 1 (n,a). תרגיל (**) נניח שלחבורה 1 G אין תת חבורות פרט ל G,1. מסדר ראשוני. הוכח ש G ציקלית משפט תהי x G = חבורה ציקלית מסדר n. יהי d. n ל G יש תת חבורה יחידה מסדר,n/d והיא. x d הוכחה. לפי תרגיל כל תת חבורה של G היא ציקלית, ויתרה מזו אם היא נוצרת על ידי x k אז היא שווה ל (k,n) x k = x k, x n = x, והרי.(k, n) n לכן החבורה נוצרת על ידי איבר מהצורה x d עם d, n ובחבורה זו יש n/d אברים לפי ספירה. זהו המשפט המרכזי על חבורות ציקליות. תרגיל (*) לחבורה ציקלית מסדר n יש תת חבורה אחת מכל סדר המחלק את n. הדרכה. משפט תרגיל (**) אם x, y G מתחלפים ו 1 = ord(y)),(ord(x), אז ord(x)ord(y).o(xy) = הדרכה. הראה שתמיד ord(x)ord(y),ord(xy) והראה ש xy x, y כדי להוכיח ord(xy).ord(x), ord(y) תרגיל (**) הסדר של (h,g) בחבורה G H הוא הכפולה המשותפת המינימלית.[ord(g), ord(h)] 26